$1)$ En classe, nous avons d$$riv$$ les expressions de la variance pour les mod$$les

RiskMetrics et GARCH. Supposons que l$$cart$$type $$ long terme des rendements

quotidiens est de $1\%.$ Supposons que nous sommes actuellement dans un $$tat de

tr$$s forte volatilit$$ o$2$

t$+1=(3\%)2$ pour RiskMetrics et pour GARCH. Aussi, dans le

mod$$le GARCH, supposons que $=0\mathrm{.}05$ and $=0\mathrm{.}9.$

a$)$ Sur un seul graphique, tracez l$$cart type du retour de K$$jour $($non$$annualis$)($axe Y$)$

en fonction de K$,$ pour K $=1250($axe X$).$ Par exemple, pour la valeur de l'axe des X

$$gale $40,$ vous souhaitez avoir une valeur Y $$gale $$ l$\text{'}$cart$-$type non$$annualis$$ du

rendement sur $40$ jours $($et non $$ l$\text{'}$cart$-$type du rendement quotidien au jour $40).$

b$)$ R$$p$$ter la partie a$),$ mais maintenant l'axe des Y doit $$tre l$\text{'}$cart$$type annualis$$ du

retour de K$$journ$$es$.$ En outre, inclure une nouvelle ligne qui correspond $$ un

mod$$le GARCH o$=0\mathrm{.}05$ et $=0\mathrm{.}85.($Remarque: Afin d'annualiser un $$cart type de

K$$ journ$$es$,$ vous multipliez l$$cart type de K$$jour par la racine carr$$e de $(250/$K$)($il y a

$250$ jours de bourse en un an$).$

$2)$ Reproduisez l'autocorr$$logramme des rendements $($cour $1,$ page $9)$ dans le fichier

Excel Devoir $1.$

$3)$ Consid$$rez le mod$$le GARCH avec effet de levier suivant :

$222$

t $1$ t t t $$ R $$

a$)$ Utilisez les donn$$es historiques du fichier Excel Devoir $1$ pour estimer les param$$tres

du mod$$le $$ l'aide de Maximum Likelihood Estimation. Vous n'avez pas besoin de

sp$$cifier de contraintes.

b$)$ Quelle est la pr$$vision du mod$$le pour l$\text{'}$cart type du premier jour de bourse de

$2002?$