$1.Si$ los vectores $enla$ figura satisfacen que $|u|=|v|=1,y$

$u+v+w=0$ Calcule $|w|$

Determine un vector unitario que tenga la misma direcci$$n que el vector dado.

a$)($:$6,-2$:$)$

b$)($:$8,-1,4$:$)$

c$)-5i+3j-k$

Determine un vector con la misma direcci$$n que $($:$6,2,-3$:$)$ que tenga longitud $4.$

Determine los valores de $x$ tales que el $$ngulo entre los vectores $($:$2,1,-1$:$)$ y $($:$1,x,0$:$)$ sea de $45$

Determine el producto cruz $ab$ donde $a=($:$2,3,0$:$),b=($:$1,0,5$:$)$ y compruebe que es ortogonal tanto a $a$

como a b$.$

Momento de torsi$$n

La idea de un producto cruz ocurre a menudo en f$$sica$.$ En particular, se considera una

fuerza $F$ que act$$a sobre un cuerpo r$$gido en un punto dado por un vector de posici$$n $r.$

$($Por ejemplo, si se aprieta un tornillo aplicando una fuerza a una llave como en la figura

$4,$ se produce un efecto de torsi$$n$.)$ El momento de torsi$$n $($en relaci$$n con el origen$)$

se define como el producto cruz de los vectores de posici$$n y de fuerza

$=rF$

y mide la tendencia del cuerpo a rotar alrededor del origen. La direcci$$n del vector de

momento de torsi$$n indica el eje de la rotaci$$n$.$ De acuerdo con el teorema $9,$ la magni$-$

tud del vector de momento de torsi$$n es

$||=|rF|=|r||F|sen$

donde $$ es el $$ngulo entre los vectores de posici$$n y fuerza. Observe que el $$nico com$-$

ponente de $F$ que puede causar una rotaci$$n es el perpendicular a $r,$ es decir $|F|sen.$

La magnitud del momento de torsi$$n es igual al $$rea del paralelogramo determinada por

ryF$.$

Un pedal de bicicleta es empujado con una fuerza de $60N,$ como se muestra. El

eje del pedal es de $18cm$ de largo. Determine la magnitud del momento de

torsi$$n alrededor de $P.$

Determine una ecuaci$$n vectorial y ecuaciones param$$tricas para la recta que pasa por el punto $(4,3,-1)$ y es

paralela al vector $($:$1,3,-\frac{2}{3}$:$)$

Determine las ecuaciones param$$tricas y sim$$tricas para la recta que pasa por los puntos $(0,\frac{1}{2},1)$ y $(2,1,-3)$

Determine las ecuaciones param$$tricas de la recta que pasa por $(2,4,6)$ y es perpendicular al plano $x-y+3z=7.$

Determine una ecuaci$$n del plano que pasa por el punto $(6,3,2)$ y es perpendicular al vector $($:$-2,1,5$:$)$