C$)$ M$$TODO DE SIMPSON $\frac{3}{8}$

Sea la funci$$n $f(x)$ definida en el intervalo $a,b$ que se subdivide en $3$ intervalos igualmente espacia$-$

dos. Para aproximar la integral, ahora se sustituye la funci$$n $f(x)$ por una funci$$n c$$bica $q(x)$ que pasa

por los puntos $(a,f(a)),(b,f(b)),(m,f(m))$ y $(n,f(n)),$ donde $m=\frac{2a+b}{3}$ y $n=\frac{a+2b}{3}.$

C$1)$ Teniendo en cuenta la forma de las reglas de correspondencias propuestas en A$1)$ y B$1),$ proponga y

determine la forma de la regla de correspondencia c$$bica de $q(x)$ en terminos de $a,b,f(a),f(b),f(\frac{2a+b}{3})$y f$(($a$+2$b$)/(3))$

C$2)$ Halle, por integraci$$n directa, ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{}}}q(x)dx$ usando la expresi$$n hallada en C$1).$