Crecimiento Poblacional de Escherichia Coli La ecuacin diferencial Abraham Espinoza Garcia 22 de agosto de 2022 2. Un espectmfotrne.ttu un instrumento que ptwde ser con r, k positivas, se denomina ecuacin logistica. utilizada en microbiolog(a para modelar el crecimiento poblacional dc algunas bacterias, donde x(t) permite e;timar la poblacin al tiempo t. Como la instantnea de crecimiento al tiempo t viene dada por f), el trmino modela la de Los parmetms biolgicos del modelo, A, A, caracteri- zan a la curva de crecimiento bacteriano y estn definidos como: la pendiente de la recta tangente Tm a la curva en t ti, donde (ti, el punto de infle- xin de dicha curva. El parmetru llamado dc ctrcimicuto poblaciona/; la primera coordenada del punto de interseccin de la recta Tm con el eje t, y es llamado tiempo dc A el valor asinttico de la poblaciCm. Estos parmetms son importantcs para el bi610go, ya que le pcrmitcn toner, de manera directa, una idea cualitativa adecuada de la evolucin del crecimiento poblacional del microorganismo. Es de hecho desseable expresar la solu- cin a la ecuaci6n (1) de manera que los vinicos parme- trus que fig-uren sean los biolgicos. En la referencia Zwie- tering, M. II. , Jongerburguer, L, Rombouts, F. M. , van't Riet, K. , Modeling OJ the Bacteria/ Growth Cut-we, App and Env Micmbiol, 66, 6 (1990), se reescriben varios mo- delos dc crecimiento (entre elk)s el modclo logtico) utili- zanclo SOIO kkS parmetros biolgicos definid(ks arriba, con el objeto de (entre otras cosas) facilitar la comparati- va (desde el punto de vista biolgico) entrv los difemntes modelos estudiados. a) Encuentre la soluck%n a la ecuaci6n (1), sujeta a la condicin . b) Determine el parmetmu A. c) Obtenga en trminos de los parmetros ma- temticos del modelo, k, r. d) Obtenga el tiempo ti (en el cual se alcarua la mixi- ma rwn de crecimiento poblacional) en trminos de los parmetros matemticos del modch y de la poblacin inicial JO. c) Determine la ecuaci6n dela mcta Tm y utilfrela para determinar el parmetro A. utilizado para medir dc manera indirecta concentmcio- nes de soluciones que microorganismos. Dicho ilBtrument0 funciona midiendo el parmetr0 llamado ab- sorbancin. Es connin que se use la absorbancia para ca- racterizar poblaciones de microorganismos en una cierta solucin, ya que tipicamente la absorbancia es directiv mente proporcional a la concentracin, y a de posible la poblacin. Los datos Dl mostrados a continuacin (tiempo en horas) fucron obtenidos con un espectrofotmetto para una murstra de Escherichia Coli a 370, luz de A 0.12 0.17 0.31 0.42 0.58 0.70 0.78 0.86 8 0.95 16 1.08 1.01 17 1.08 10 1.05 18 1.09 12 3 15 1.06 19 1.09 1.07 1.08 1.08 1.08 20 1.10 b) El mtodo de minimos cuadrados para el ajuste de una linea recta a un conjunto de datos un pro- blema dc optimizacin en dos variables. Investigue tal m6todo, y utilice el conocimiento adquirido en su Curso de Algebra Vectorial para obtener un entendi- miento verdadero de (seguramente ya ha Ilevado a cabo ajust. linealC*S en otros cursos, pero proba- blemente no entienda en consiste el mtodo de minimos cuadrados). Subdivida el conjunto de datos I), en tws cada parte debe corresponder a una de et.apiL8 caracteristicve; de crecimiento bacteriano. Aj una linea wcta (utilizando algin software) a cada una de estas etapas y escriba la funcin f definida a pedazos que obtiene a partir de lie; t.re; funcione; lineaks obtenidiL8 en el ajuste. Llamemos modelo MI a tal funcin f. el modelo MI para estimar la absorbancia asociada a la poblacin de E. Coli a Jos tiempos t = 1,5, 3,5, 5,5, 7,5.