\fNombre de la materia XXXX Unidad 3: Espacios vectoriales IR2 y IR3 lgebra lineal Nombre de la Licenciatura XXXX Nombre del alumno XXXX Matrcula XXXX ACTIVIDAD 4 Nombre de la Tarea Objetivo: XXXX Unidad # Nombre de unidad 1. Reconocer las propiedades del espacio y subespacio vectorial. Nombre del Profesor 2. Distinguir si un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente. XXXX 3. Identificar si un conjunto de vectores son base de un espacio vectorial. Fecha XXXX Forma de evaluacin: 2 Unidad 3: Espacios vectoriales IR2 y IR3 lgebra lineal Criterios Ponderacin Presentacin, formato de tareas UTEL, ortografa y redaccin 15% Desarrollo de puntos solicitados; desarrollo de la idea principal y 85% cada uno de los elementos solicitados, ejemplos especficos. Total 100% Instrucciones: Revisa detalladamente los siguientes ejemplos y apoyate en ellos para responder los ejercicios. Ejemplo 1 Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR2. Justifica tu respuesta. { ( -2 , 2) , ( 2 , 4 ) } 2 Como estamos hablando de R necesitamos 2 vectores, los cuales ya tenemos, entonces basta comprobar que son linealmente independientes. Para ello: Para ello suponemos dos constantes a y b. Que multiplican a los vectores y la suma es igual a 0. Si la solucin es tal que, a y b sea ambas igual a 0, entonces los vectores son linealmente independientes. a ( -2 , 2) + b ( 2 , 4 ) = 0 1) -2a +2b = 0 2) 2a +4b = 0 Despejando de la primera ecuacin 2a = 2b a = 2b / 2; a = b; Como a = b, sustituimos en la segunda ecuacin: 3 Unidad 3: Espacios vectoriales IR2 y IR3 lgebra lineal 2b + 4b = 0 6b = 0 b=0 Como a = b = 0, entonces son linealmente independientes y si generan a R 2 *NOTA: Si nos hubieran dado 2 vectores y stos deben generar a R3 o R4 o R5, etc. No son base ya que, para generar a Rn se requieren n vectores. Ejemplo 2 Determina la base que genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y: M={ ( x , y , z ) | 3x + 4y + z = 0 } Para ello debemos despejar primero a la variable y. 4y = y = -z - 3x - (1/4)z - (3/4)x Ahora escribiremos un vector como sigue: x y z Pero como y = - (1/4)z - (3/4)x , entonces: - (1/4)z x - (3/4)x z Ahora rescribimos ste vector como una suma, el primer trmino considera a x = 0 mientras que el segundo considera a z = 0; Como sigue: x - (1/4)z - = 0 - (1/4)z + x - (3/4)x (3/4)x z z 0 4 Unidad 3: Espacios vectoriales IR2 y IR3 lgebra lineal Si factorizamos: x - (1/4)z - = z 0 - 1/4 + x 1 - 3/4 (3/4)x z 1 0 Entonces los vectores [ 0 , -1/4 , 1 ] y [ 1 , -3/4 , 0 ] Es la base que genera al Espacio vectorial. *NOTA: SI NOS PIDIERAN LA DIMENSIN, BASTARA ENCONTRAR EL NMERO DE VECTORES DE LA BASE, EN ESTE CASO SON 2 Y ESE ES EL NMERO DE VECTORES, ES LA DIMENSIN DEL ESPACIO. Ejemplo 3 x (2,3), determina sus coordenadas relativas a la base B (1,1), (1, 2) Solo debemos suponer 2 constantes a y b que multiplican a las bases y cuya suma es igual al vector x (2, 3) Como sigue: x (2,3) = a(1,2)+b(-1,2) 1) 2 = a-b 2) 3 = 2a+2b Despejando de 1) a = 2+b Sustituyendo en 2) 3 = 2 (2+b)+2b 3 = 4+2b+2b 3 = 4 +4b 4b = 3-4 = -1 b = -1/4 a = 2+b = 2 -1/4 = a = 3/4 Entonces el resultado es: 5 Unidad 3: Espacios vectoriales IR2 y IR3 lgebra lineal x (2,3) = 3/4(1,2)-3/4(-1,2) Desarrollo de la actividad: Ejercicio 1 Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR2. Justifica tu respuesta. { ( -4 , 4) , ( 4 , 8 ) } Ejercicio 2 Determina la base que genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y: M={ ( x , y , z ) | 5x + 6y +z = 0 } Ejercicio 3 x (5,6), determina sus coordenadas relativas a la base B (1,1), (1, 2) 6