La loi de comportement du fluide visco$$lastique de Maxwell est donn$$e par :

${}^{\text{'}}+(\frac{D{}^{\text{'}}}{Dt}-$gradu$*{}^{\text{'}}-{}^{\text{'}}grad{u}^T)=2S,$

avec $$ est la viscosit$$ du fluide visco$-$lastique et $$ le temps de relaxation.

Consid$$rez l$\text{'}$coulement permanent et axisym$$trique d'un fluide non$-$Newtonien du type Maxwell dans une contraction abrupte de rapport $4$:$1$ entre le diam$$tre d'entr$$e $D$ et le diam$$tre de sortie $d,$ comme montre la figure ci$-$dessous.

Le rep$$re est en coordonn$$es cylindriques $(r,,z),$ et les composantes du vecteur vitesse sont $u=(v_r,v_{},v_z).$

Questions :

$1-$ Sachant que l$\text{'}$coulement est axi$-$sym$$trique$,$ faire les simplifications n$$cessaires et exprimer le gradient de vitesse gradu et le tenseur taux de d$$formation $S$ en fonction des coordonn$$es et des composantes du vecteur vitesse.

$2-$ Consid$$rer deux zones principales dans cet $$coulement: zone $1$ et zone $2.$ La zone $1$ est caract$$ris$$e par un fort cisaillement et la zone $2$ par une forte $$longation$.$ Donner les composantes principales du tenseur taux de d$$formation pour chaque zone.

$3-$ Pour les deux zones, donner l'expression de la d$$riv$$e convective objective $D\frac{{}^{\text{'}}}{D}t$ en fonction des composantes du tenseur des contraintes ${}^{\text{'}}.$

$4-$ En utilisant la loi de comportement pour un fluide du type Maxwell, calculer pour les deux zones:

a$)$ l'expression du tenseur ${}^{\text{'}},$ puis celle du tenseur $($on rappelle que $={}^{\text{'}}\frac{-}{p}$I $,$ o$p$ repr$$sente la pression et I la matrice identit$).$

b$)$ la premi$$re et la deuxi$$me diff$$rence de contraintes normales pour cet $$coulement$.$

Donn$$es :

Le tenseur des taux de d$$formation $S$ :

$S=\frac{1}{2}(gradu+grad{u}^T)$

o$u=(v_r,v_{},v_z)$ est le vecteur vitesse.

Le tenseur gradient de vitesse $($en coordonn$$es cylindriques$)$ :

gradu$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{del{v}_r}{\text{d}\text{e}\text{l}\text{r}}& \frac{1}{r}(\frac{del{v}_r}{\text{d}\text{e}\text{l}}-v_{})& \frac{del{v}_r}{\text{d}\text{e}\text{l}\text{z}}\\ \frac{del{v}_{}}{\text{d}\text{e}\text{l}\text{r}}& \frac{1}{r}(\frac{del{v}_{}}{\text{d}\text{e}\text{l}}+v_r)& \frac{del{v}_{}}{\text{d}\text{e}\text{l}\text{z}}\\ \frac{del{v}_z}{\text{d}\text{e}\text{l}\text{r}}& \frac{1}{r}\frac{del{v}_z}{\text{d}\text{e}\text{l}}& \frac{del{v}_z}{\text{d}\text{e}\text{l}\text{z}}\end{array}\right].$

Pour ce cas, le tenseur des contraintes ${}^{\text{'}}$ peut s$\text{'}$crire sous la forme :

$\left[\begin{array}{ccc}{}_{rr}^{\text{'}}& 0& {}_{rz}^{\text{'}}\end{array}\right]$