Lean Six Sigma Analisis MMP6145 Introduccin: En esta semana estaremos hablando de cmo podemos hacer inferencia sobre el comportamiento de los parmetros estadsticos entre dos poblaciones y de varianza. Recuerden que para las siguientes pruebas de hiptesis se van a utilizar los mismos conceptos aprendidos de Ho, H1, Alpha cuando H1 es igual, mayor o menor, Z critica y experimental. Tambien estaremos hablando un poco sobre el uso de la tcnica de regresin lineal. Prueba de Hiptesis de Promedio de dos Poblaciones con Desviacin Estandar conocida: Si queremos saber si el promedio de un proceso es mayor, igual o menos que el valor de otro proceso, con una desviacin estandar conocido entonces debemos usar una prueba de hiptesis usando como herramienta la distribucin normal. El siguiente ejemplo nos demuestra como la prueba de hiptesis nos ayuda a realizar la siguiente conclusin. Tenemos unas muestras de dos procesos de llenado de liquido en onzas. Estas son los siguientes: X= 10, 8,11,11,10,12,8,10 Y= 12,11,9,8,12,11 Si el proceso X debe de tener una desviacion de 2 onzas y el Y una desviacin de 3, y queremos saber si el proceso X es menor que el Y. Entonces desarrollamos una prueba de hiptesis de promedio de dos poblaciones. Primeramente hay que desarrollar las hiptesis: Ho : Hiptesis Nula: Ho : X = Y H1 : Hiptesis Alterna: H1 : X < Y Ahora volvamos a nuestra prueba de hiptesis de promedio de dos poblaciones con desviacin estandar conocida. Si las hiptesis estan definidas de la siguiente forma: Ho : X = Y H1 : X < Y H1 Ho Conociendo esto procederemos a hacer la comparacin estadstica que nos permite deducir cual de las dos hiptesis esta correcta o es aceptada. Para lograr este objetivo vamos a definir dos variables de comparacin. Dado que estamos usando la distribucin normal, estas variables tendran el nombre de Z critica y Z experimental. Para nuestro ejemplo usaremos la alpha de 5% . Buscamos en la tabla de A-2 debido a que el alpha esta en el lado izquierdo y encontramos lo siguiente. 0.09 0.08 0.07 0.06 0.1 0.2 0.3 . 1.5 1.6 1.7 . 2.3 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 .0505 .0495 Si buscamos la P(Zcrit < 0.05), encontraremos en la tabla A-2 que Z critica es -1.645. Zcrit = -1.645 Alpha = .05 95% H1 Ho Ya tenemos la frontera o limites de aceptacin, esto quiere decir que de - hasta -1.645 es H1, y que desde -1.645 hasta es Ho. Ahora buscamos la Z experimental. La Z experimental es aquella que nos provee el comportamiento de la variable basado en data recopilada y evaluada experimentalmente. Tambien nos define cual zona de aceptacin sera seleccionada para desarrollar mi conclusin. X= 10, 8,11,11,10,12,8,10 Y= 12,11,9,8,12,11 Con esta informacin buscaremos el promedio muestral : suma de las X entre el numero de X para la poblacin de X; lo mismo lo haremos para la poblacin de Y. _ X = 80/8 = 10 Y = 63/6 =10.5 _ _ Zexp = (X - Y) x + y Nx Zexp = Ny (10 - 10.5) = -0.35 2 +3 8 6 Con este valor experimental vamos y lo localizamos en nuestra grafica para determinar en que zona de aceptacin cayo. Zcrit = -1.645 .05 95% H1 Ho Zexp =- 0.35 Por lo tanto, al caer en la zona de Ho podemos concluir que no existe suficiente evidencia para rechazar Ho o simplemente que aceptamos Ho, lo que implica que con la data que tenemos podemos inferir que el promedio del proceso X es igual al de Y. Esta prueba de hiptesis tambin se puede hacer para las condiciones de igual, menor y mayor para la hiptesis alterna. Prueba de Hiptesis de Promedio de dos Poblaciones con Desviacin Estandar desconocida: Para saber comparar los promedios de dos procesos sin saber el valor de las desviacines estandar entonces debemos usar la distribucin Student T. El siguiente ejemplo nos demuestra como la prueba de hiptesis nos ayuda a realizar la siguiente conclusin. Tenemos unas muestras de dos procesos en libras. Estas son los siguientes: X = 15, 18,21,21,20,22 Y = 10,7,8,7,9,12,8 Si queremos saber si el proceso X tiene un promedio mayor que el de Y. Primeramente hay que desarrollar las hiptesis: Ho : Hiptesis Nula: Ho : x = y H1 : Hiptesis Alterna: H1 : x > y Con estas hiptesis establecidas, vamos a darle un Error Tipo 1 o alpha de 10%. H1 : H1 : > Xo Ho Alpha estara al lado derecho de la distribucin debido a que estamos buscando que el promedio sea mayor que. H1 Fijense que debajo de las alphas siempre estara la zona de aceptacin de la hiptesis alterna H1. Mientras que debajo del area conocida como el nivel de confiabilidad (1- ), se encontrara el area de aceptacin de la hiptesis nula Ho. Al igual que la Z critica, la T critica determina la frontera o el limite que separa la zona de aceptacin de las dos hiptesis. T critica Si se fijan la distribucin T es igual a la Normal y tiene la forma de campana, lo cual le da simetra. Para nuestro ejemplo hay una T critica. Para determinar el valor de T critica debemos buscarla en la tabla A-4. Esta tabla demuestra los valores cuando P(T > Xo). Por lo tanto, esta de acuerdo a lo que se esta buscando en la prueba de ejemplo. Distribucin T 0.10 90% Ho H1 Para buscar el valor en la tabla sera P(Tcrit > .90) o una alpha de 10% (.1). Tambien es necesario determinar los grados de libertad para esta distribucin. Estos grados nos permite desarrollar un mejor estimado de los parmetros estadsticos cada vez que hallamos usado un estimado para la desviacin o promedio. Grados de Libertad para distribucin T usando dos poblaciones es Sx Nx + Sy Ny -2 V= (Sx/Nx) Nx+1 + (Sy/Ny) Ny+1 Para nuestro ejemplo es V Xbarra= X = 19.5 Ybarra= Y = 8.71 Desviacion Std Muestral = Sx = 2.59 Desviacion Std Muestral = Yx = 1.80 2.59 + 1.8 6 7 -2 V= (2.59/6) 6+1 + (1.8/7) 7+1 ( 1.12 + 0.463) -2 V= (0.178 + 0.027) 2.51 V= -2 = 10.24 =11 0.205 Con los grados de libertad estimado, podemos ir a la tabla de la distribucin T y determinar el valor de T critica para esta prueba de hiptesis. Tabla distribucin T: A-4 Ejemplo: Buscar el valor de T cuando la alpha es 10% y V=11 .4 .25 .10 .05 .025 .01 .005 .0025 .001 .0005 V 1 2 3 . 10 11 12 1.363 Si buscamos la P(Tcrit >0.90), encontraremos en la tabla A-4 que T critica es 1.363. Recuerden que esta distribucin es simtrica. Por lo tanto, cuando buscamos dos valores de T que estan simtricamente localizados en la distribucin estos tendran el mismo valor, con excepcion que uno es negativo y otro positivo. Conociendo los valores de T Critica, volvamos a nuestra prueba de hiptesis: T crit = 1.363 0.10 90% Ho H1 Ya tenemos la frontera o limite de aceptacin, esto quiere decir que de - hasta 1.363 es es Ho y que desde 1.363 hasta es H1. Ahora buscamos la T experimental. La T experimental es aquella que nos provee el comportamiento de la variable basado en data recopilada y evaluada experimentalmente. Tambien nos define cual zona de aceptacin sera seleccionada para desarrollar mi conclusin. X= 15, 18,21,21,20,22 Y = 10,7,8,7,9,12,8 Con esta informacin buscaremos el promedio muestral para las dos poblaciones X barra = 117/6 = 19.5 Ybarra = 61/7 = 8.71 Texp = _ _ (X - Y) S x + S y Nx Texp = Ny (19.5 - 8.71) = 2.59 + 1.8 6 10.79 = 8.58 1.257 7 Con este valor experimental vamos y lo localizamos en nuestra grafica para determinar en que zona de aceptacin cayo. Tcrit = 1.363 0.10 90% Ho H1 Texp = 8.28 Por lo tanto, al caer en la zona de H1 podemos concluir que existe suficiente evidencia para rechazar Ho o simplemente que aceptamos H1, lo que implica que con la data que tenemos podemos inferir que el promedio del proceso X es mayor que el de Y. Prueba de Hiptesis de Varianza con una Poblacion: Si queremos saber si la desviacin estandar o la varianza de un proceso es mayor, igual o menos que un valor en especifoco entonces debemos usar una prueba de hiptesis usando como herramienta la distribucin Chi-Square. El siguiente ejemplo nos demuestra como la prueba de hiptesis nos ayuda a realizar la siguiente conclusin. Tenemos unas muestras de un proceso de llenado de liquido en onzas. Estas son los siguientes: X= 10, 8,11,11,10,12,8,10 Si se quiere saber si el proceso X tiene una desviacion estandar de 2 onzas, entonces desarrollamos una prueba de hiptesis de varianza de una poblacin . Primeramente hay que desarrollar las hiptesis: Ho : Hiptesis Nula: Ho : x = 2 H1 : Hiptesis Alterna: H1 : x = 2 Fijense que el parmetro estadstico ha cambiado a sigma enves de miu, debido a que estamos haciendo inferencia sobre el comportamiento de la varianza y no del promedio. Ahora volvamos a nuestra prueba de hiptesis de varianza. Al igual que las pruebas anteriores el error tipo1 o alpha tiene el mismo significado y todos los procesos de posicionar los valores criticos siguen la misma metodologa. Solamente cambia de distribucin de probabilidades a la Chi-Square la cual no es simtrica. Como la alterna esta infiriendo que no es igual hay que dividir alpha entre 2. Distribucin Chi-Square /2 /2 H1 Ho H1 Conociendo esto procederemos a hacer la comparacin estadstica que nos permite deducir cual de las dos hiptesis esta correcta o es aceptada. Para lograr este objetivo vamos a definir dos variables de comparacin. Dado que estamos usando la distribucin Chi-Square, estas variables tendran el nombre de X critica y X experimental. Para nuestro ejemplo usaremos la alpha de 10% . Buscamos en la tabla de A-5. Esta nos da lo valores de la chi-square con la probabilidad alpha a la derecha de la distribucin. Para buscar el valor critico de la Chi-Square, necesitamos saber los grados de libertad de la prueba. Estos estan definidos por la formula: V=n-1 = 8-1=7. Con alpha de 10% dividida en dos por H1 tiene =, entonces conseguimos las dos X criticas. alpha 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.500 0.100 0.050 0.025 0..01 V 1 2 3 . 5 6 7 . . 2.17 14.07 Si buscamos la P(X > 0.95), encontraremos en la tabla A-5 que X critica es 2.17, mientras para la P(X >0.05) X critica es 14.07. Noten que la distribucin Chi-Square no es simtrica como la Normal, de forma tal que los valores criticos no son los mismos con signos diferentes. Esto ocurre porque la variable X es un valor al cuadrado y no puede asumir valores negativos. X critica 1=2.17 /2=.05 X critica 2 =14.07 90% H1 Ho /2=.05 H1 Ya tenemos la frontera o limites de aceptacin, esto quiere decir que de 0 hasta 2.17 es H1, que desde 2.17 hasta 14.07 es Ho y que desde 14.07 hasta es H1. Ahora buscamos la X experimental. La X experimental es aquella que nos provee el comportamiento de la variable basado en data recopilada y evaluada experimentalmente. Tambien nos define cual zona de aceptacin sera seleccionada para desarrollar mi conclusin. X= 10, 8,11,11,10,12,8,10 Con esta informacin buscaremos el promedio muestral: suma de las X entre el numero de X para la poblacin de X y la desviacin estandar muestral S. La formula de la S se encuentra en el primer capitulo. X = 80/8 = 10 S= 1.414 X Experimental = S (n-1) X exp= (1.414 ) (8-1) (2 ) = 3.50 Con este valor experimental vamos y lo localizamos en nuestra grafica para determinar en que zona de aceptacin cayo. X critica 1=2.17 /2=.05 X critica 2 =14.07 90% H1 Ho /2=.05 H1 X exp =3.50 Por lo tanto, al caer en la zona de Ho podemos concluir que no existe suficiente evidencia para rechazar Ho o simplemente que aceptamos Ho, lo que implica que con la data que tenemos podemos inferir que la desviacin estandar de este proceso es igual a 2. Esta prueba de hiptesis tambin se puede hacer para las condiciones de igual, menor y mayor para la hiptesis alterna. Prueba de Hiptesis de Varianza de dos Poblaciones: Para saber comparar las desviaciones estandar o varianzas entre dos procesos debemos usar la distribucin F. El siguiente ejemplo nos demuestra como la prueba de hiptesis nos ayuda a realizar la siguiente conclusin. Tenemos unas muestras de dos procesos en libras. Estas son los siguientes: X = 15, 18,21,21,20,22 Y = 10,7,8,7,9,12,8 Si queremos saber si el proceso X tiene una desviacin estandar mayor que la de Y. Primeramente hay que desarrollar las hiptesis: Ho : Hiptesis Nula: Ho : x = y H1 : Hiptesis Alterna: H1 : x > y Con estas hiptesis establecidas, vamos a darle un Error Tipo 1 o alpha de 10%. Al ser mayor que colocaremos el alpha al lado derecho de la grafica. Distribucin F Ho H1 Conociendo esto procederemos a hacer la comparacin estadstica que nos permite deducir cual de las dos hiptesis esta correcta o es aceptada. Para lograr este objetivo vamos a definir dos variables de comparacin. Dado que estamos usando la distribucin F, estas variables tendran el nombre de F critica y F experimental. Para nuestro ejemplo usaremos la alpha de 10%. Para la distribucin F hay 5 tablas en el libro que permite utilizar. Cada tabla corresponde a la P (F > 1-alpha). Por lo tanto, hay una tabla cuando alpha es igual a 25% (A6),10% (A7), 5% (A8), 2.5% (A9) y 1% (A10). Para nuestro ejemplo usaremos la tabla de A7. Esta nos da lo valores de la F con la probabilidad alpha a la derecha de la distribucin. Para buscar el valor critico de la F, necesitamos saber los grados de libertad de cada poblacion. Estos estan definidos por la formula: Vx=nx-1 = 6-1=5, mientras Vy= ny-1= 7-1=6. Tabla A7 Distribucion F alpha =10% V1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V2 1 2 3 4 5 6 3.11 7 8 9 Si buscamos la Fcrit (,V1,V2) = Fcrit (10%,5,6), encontraremos en la tabla A7 que F critica es 3.11. Noten que la distribucin F no es simtrica como la Normal, de forma tal que los valores criticos no son los mismos con signos diferentes. Esto ocurre porque la variable F es la divisin de valores al cuadrado y no puede asumir valores negativos. F critica = 3.11 90% Ho =10% H1 Ya tenemos la frontera o limites de aceptacin, esto quiere decir que de 0 hasta 3.11 es Ho, y que desde 3.11 hasta es H1. Ahora buscamos la F experimental. La F experimental es aquella que nos provee el comportamiento de la variable basado en data recopilada y evaluada experimentalmente. Tambien nos define cual zona de aceptacin sera seleccionada para desarrollar mi conclusin. X = 15, 18,21,21,20,22 Y = 10,7,8,7,9,12,8 Usando las formulas del capitulo 1, determinamos los siguientes valores: Xbarra= X = 19.5 Ybarra= Y = 8.71 Desviacion Std Muestral = Sx = 2.59 Desviacion Std Muestral = Yx = 1.80 F Experimental = F exp = Sx Sy (2.59 ) (1.8) = 2.07 Note la importancia de colocar las poblaciones en orden. En las hiptesis la varianza de la X esta primera que la Y, en F critica los grados de libertad de la X esta primero que la Y y en la F experimenta la varianza muestral esta encima de la Y. Si usted cambia la poblacin Y primero que la X, entonces debe de cambiar el orden de la prueba. Con este valor experimental vamos y lo localizamos en nuestra grafica para determinar en que zona de aceptacin cayo. F critica = 3.11 90% Ho F exp = 2.07 =.10 H1 Por lo tanto, al caer en la zona de Ho podemos concluir que no existe suficiente evidencia para rechazar Ho o simplemente que aceptamos Ho, lo que implica que con la data que tenemos podemos inferir que las desviaciones estandar de estos procesos son iguales. Esta prueba de hiptesis tambin se puede hacer para las condiciones de igual, menor y mayor para la hiptesis alterna. No obstante, para el uso de las tablas del libro, solamente se puede hacer pruebas de hiptesis con H1 siendo mayor que. Prueba de relacion linear entre una variable Independiente y otra Dependiente: Regresin Lineal: Existe una tcnica que requiere mas evaluacin, pero es bien efectiva cuando se refleja un comportamiento lineal entre dos variables. Por ejemplo si vemos la siguiente grafica notaras que los Demanda Periodos puntos azules indican la demanda que ocurre por periodo de un producto en particular. Esta demanda tiene una tendencia de comportamiento lineal, la cual se refleja cuando se nota una pendiente ya sea negativa o positiva. Supongamos que la demanda de los primeros seis meses del borrados puede estar siguiendo una tendencia lineal. Como podriamos determinar esto y como determinaramos la ecuacin lineal? Si usamos la tcnica conocida como la Regresin Lineal podremos saber la ecuacin que mas se acerca y si es lo suficientemente preciso para usarse como herramienta de proyeccin. La tcnica de regresin lineal tiene como objetivo determinar la funcion lineal que mas se asemeje al comportamiento de los datos. Para poder determinar esta funcion se utilizara otra tcnica conocida como la Suma de los Cuadrados Minimos. La suma de los cuadrados minimos tiene base en la determinacin de la variacin o desviacin que existe entre dos variables. Como es conocido la funcion lineal tiene dos variables. Una conocida como la variable independiente y otra la pendiente. La funcion lineal tiene el siguiente formato Y = a + bX, donde X es la variable independiente y Y la dependiente, y donde a es el intercepto en Y y b es la pendiente. Procederemos a determinar la variacin que existe entre los valores de la variable independiente X usaremos la suma de los cuadrados minimos de X conocido como Sxx. Sxx = (X^2) - (X)^2 n Luego sigue la variacin de la variable dependiente Y Syy = (Y^2) - (Y)^2 n Por ultimo determinaremos la variacin de la combinacin de las dos variables Sxy = (XY) - (Y) (X) n La suma de los cuadrados minimos de X y de Y seran siempre positivas. Mientras que la suma de los cuadrados minimos de XY puede ser negativo o positivo dependiendo la pendiende de la funcion. Si seguimos con nuestro ejemplo de borradores, definamos como la variable independiente (X) a los periodos de tiempo, mientras que nuestra variable dependiente (Y) sera la demanda para cada periodo. Procedamos pues a determinar la suma de los cuadrados minimos para nuestro ejemplo. (X) (Y) Periodo (Mes) Demanda X^2 Y^2 XY 1 1250 1 1562500 1250 2 1590 4 2528100 3180 3 1340 9 1795600 4020 4 1510 16 2280100 6040 5 1486 25 2208196 7430 6 1440 36 2073600 8640 21 8616 Sxx = 91 - 21 ^2 6 Sxx = 17.5 91 12448096 Syy = 12448096 - 8616 ^2 6 Syy = 75520 30560 Sxy = 30560 - 21*8616 6 Sxy = 404 Con la suma de los cuadrados minimos, ya podemos proceder a determinar los valores de los parmetros necesarios para la regresin lineal. Entre estos parmetros estan la pendiente de la funcion lineal. B = Sxy / Sxx = 404 /17.5 = 23.09 Para determinar el intercepto en Y, necesitamos los promedios de X y Y. X = 21/6 = 3.5, Y = 8616/6 = 1436, a = Y - Xb = 1436- (3.5*23.09) = 1355.2 Por lo tanto, la regresin lineal nos determino la siguiente funcion Y = 1355.2 + 23.09X Ahora, sera esta funcion lo suficientemente precisa para usarse como una proyeccin? Para esto usaremos dos maneras de determinar la precision de la funcion con relacion a los actuales. La primera es conocida como el coeficiente de correlacion. Denominndolo con la letra r , solamente podra asumir valores entre -1 a +1 y se define como sigue: r= Sxy / Sxx* Syy = 404 / 17.5 * 75520 = .35 Para saber lo que significa .35 usaremos esta pequena leyenda: Si r se acerca a +1 (.5 a 1), entonces existe una relacion lineal fuerte entre la variable dependiente e independiente con una pediente positiva. Esto significa que a medida que X aumenta, Y aumenta. Y X Si r se acerca a -1 (-.5 a -1), entonces existe una relacion lineal fuerte entre la variable dependiente e independiente con una pediente negativa. Esto significa que a medida que X aumenta, Y disminuye. Y X Si r se acerca a 0 (-.49 a .49), entonces no existe relacion lineal. Esto significa que el valor de Y no depende del valor de X. Por lo tanto, en nuestro ejemplo no existe relacion entre las dos variables. La otra forma de verificar la precision de la funcion lineal es mediante el uso de las fuentes de variacin en un anlisis de varianza. Usando la siguiente tabla definiremos: Fuente Variacin Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Promedio Valor F Exp. Regresin Error SSR=b*Sxy SSE=Syy-SSR 1 n-2 MSR=SSR/1 MSE=SSE/(n-2) Fexp= MSR/MSE Ejemplo: Fuente Variacin Suma de Cuadrados Grados de Cuadrado Libertad Promedio Valor F Exp. Regresin Error SSR=23.09*404=9328 SSE=75520-9328=66192 1 6-2 MSR=9328/1 MSE=66192/4 Fexp= 9328/16545 = .564 Hacemos referencia a prueba de hiptesis, donde se define alpha como el error tipo 1 y que para nuestro ejemplo sera 5%. Buscamos entonces en la tabla de la Distribucin F para determinar el valor de la F critica. Este valor define la zona de aceptacin entre la conclusin de que las variables tienen o no una relacion lineal fuerte. Al buscar en una tabla la distribucin F con un alpha de 5%, con 1 grado de libertad para la regresin y 4 grados de libertad para el error, conseguimos el valor de 7.71. Si el valor de F experimental es mayor que el critico, entonces se puede concluir que si existe relacin lineal fuerte y esta funcion puede ser utilizada para proyeccin. Pero si el valor de la F experimental es menor que el critico, entonces no existe esta relacion. En nuestro ejemplo, vemos que el experimental es menor que el critico, por lo tanto no existe relacion lineal. (Recuerda de estadstica que la distribucin F asume valores mayores que 0 hasta infinido.) Distribucin F No existe Relacion Lineal. F critica =7.71 Alpha = 5% F experimental = .564 Por lo tanto, no hay suficiente evidencia para inferir que existe relacion lineal. Vete a dormir que se te rompe la botella