Question a developpement (7 points) : Pour chacune des series numeriques suivantes, etudier leur convergence ou leur divergence. En specifiant le critere utilise. Donner tous les details de votre demarche: a. (4 points) E 1 n=2 n (In n) 2/3 b. (3 points) " Vn+1 n=2 n' - 1QUESTIONS A CHOIX MULTIPLES Exercice 1 (3 points) : En appliquant la methode d'Euler a l'equation differentielle suivante : y' = t 1+_ avec y(1) = 2,4 et h = 0, 5. Laquelle des valeurs suivantes est la plus proche de y(2)? (A) 4,49; (B) 6,39; (C) 4,88; (D) 4,55; (E) 6,69; (F) 7,50. Exercice 2 : (3 points) 3n+1+4n Quelle est la somme de la serie suivante : Zn=0 -? 5n (A) 12,46; (B) 12,48; (C) 12,50; (D) 12,44; (E) 12,52; (F) 12,54. Exercice 3 (3 points) : Si y (t) = f(t) est la solution de l'equation differentielle suivante : y'= (1 - y) (3 + y) avec y(0) = -2 , quelle est la valeur de y(1)? (A) 0,79; (B) 0,98; (C) -0,32; (D) -0,54; (E) -1,01; (F) 0,32.Exercice 4 (3 points) : Supposons que de l'eau salee avec une concentration 0.4 gram / m' est ajoutee dans un reservoir dont le volume est de 2500 m' a une vitesse de 3 m / minute. L'eau salee dans le reservoir est maintenue homogene et une quantite s'echappe du reservoir a la meme vitesse de 3 m / minute. Soit Q(t) la quantite , en grammes, du sel dans le reservoir au temps t (en minutes). Si Q(0) = 8000 grammes, quelle est la quantite du sel dans le reservoir apres 500 minutes, Q(500)? (A) 4822; (B) 4852; (C) 4832; (D) 4842; (E) 4812; (F) 4802. 6Exercice 5 (3 points) : Determiner l'intervalle de convergence de la serie des puissances suivante : (x+ 1) (-3) " Vn (A) [-3, 3[; (B) ]-3, 3]; (C) [-2, 4[; (D) ]-2, 4]; (E) [-4, 2 [; (F) ]-4, 2]. Exercice 6 (3 points) : Soit f(y) = En=o(-1)n (n+1)ynti 2y2 313 4v4 - = y - + (2n)! 2! +. ... 4! 6! Determiner le coefficient devant x dans la serie des puissances de F(x) = ( f(2) dt 5 A) (B) (C) (D) (E (F) 280 56 42 1080 1008 24