Sabiendo que el payoff a vencimiento de una opci$$n call europea sobre el activo $S$ con precio de ejercicio $K$ y vencimiento en $T,$ es max$\{S(T)-K\}$ y el precio de la opci$$n a tiempo $t$ bajo la f$$rmula de Black$-$Scholes es:

$C(S,K,T)=S(t)**N(d1)-K**e^{-r**}**N(d2),$

con $d_1=\frac{ln(S\frac{t}{K})+(r+0\mathrm{.}5**{}^2)**}{**\sqrt[\phantom{2}]{}}y{d}_2=d_1-**\sqrt[\phantom{2}]{}$

Demuestre lo siguiente:

$\underset{S}{lim}C(S,K,T)=-K**e^{-r**},\underset{S{0}^{+}}{lim}C(S,K,T)=0,\underset{T}{lim}C(S,K,T)=S(t),\underset{tT}{lim}C(S,K,T)=(S(T)-K{)}_{+}$

$\underset{0^{+}}{lim}C(S,K,T)=(S(t)-K**e^{-r**}{)}_{+},\underset{K}{lim}C(S,K,T)=0,\underset{K{0}^{+}}{lim}C(S,K,T)=S(t),\underset{r}{lim}C(S,K,T)=S(t)$