Se realiz$$ un ensayo cl$$nico para determinar si el tratamiento hormonal beneficia a las mujeres que recibieron tratamiento previo por c$$ncer de mama. Cada sujeto ingres$$ al ensayo cl$$nico cuando tuvo una recurrencia. Luego fueron tratados con irradiaci$$n y asignados a un grupo de tratamiento hormonal o a un grupo de control. La observaci$$n de inter$$s es el tiempo hasta una segunda recurrencia, que se puede suponer que sigue una distribuci$$n exponencial con par$$metro $($grupo de terapia hormonal$)$ o $($grupo de control$).$ En la tabla, un tiempo de censura $\backslash ($ Q $\backslash )$ significa que una mujer se observ$$ durante $\backslash ($ Q $\backslash )$ meses y no tuvo una recurrencia durante ese tiempo, por lo que el tiempo de recurrencia excede $\backslash ($ Q $\backslash )$ meses. Por ejemplo, $15$ mujeres que recibieron tratamiento hormonal tuvieron recurrencias y el tiempo total de recurrencia fue de $280$ meses. Sean $\backslash ($ y$\_$i$^$H $=($x$\_$i$^$H$,\backslash$delta$\_$i$^$H$)\backslash )$ los datos para $\backslash ($ i $\backslash )-$sima persona en el grupo hormonal, donde $\backslash ($ x$\_$i$^$H $\backslash )$ es el tiempo $\backslash ($ y$\_$i$^$H $\backslash )$ si es un tiempo de recurrencia y $0$ si es un tiempo de censura. Los datos para el grupo de control se pueden escribir de manera similar. La probabilidad viene dada por:$\backslash [$ p$($y$|\backslash$theta$,\backslash$tau$)\backslash$propto $(\backslash$theta $\backslash$tau$)^\{\backslash$sum $\backslash$delta$\_$i$^$H $+\backslash$sum $\backslash$delta$\_$i $^$C$\}\backslash$exp $\backslash$left$\backslash \{-\backslash$theta $\backslash$left$(\backslash$sum x$\_$i$^$C $+\backslash$tau $\backslash$sum x$\_$i$^$H $\backslash$right$)\backslash$right$\backslash \}\backslash ]$La compa$$a farmac$$utica lo contrat$$ para analizar sus datos. Quieren saber si el tratamiento hormonal funciona. Su tarea es encontrar la distribuci$$n marginal posterior de $\backslash (\backslash$tau $\backslash )$ usando el muestreo de Gibbs. El conjugado anterior viene dado por:$\backslash [$ p$(\backslash$theta$,\backslash$tau$)\backslash$propto $\backslash$theta$^\{$a$-1\}\backslash$tau$^\{$b$-1\}\backslash$exp $\backslash \{-$c$\backslash$theta $-$ d$\backslash$tau $\backslash$theta $\backslash \}\backslash ]$Los m$$dicos que han trabajado extensamente con este tratamiento han indicado que los valores razonables para los hiperpar$$metros son $\backslash (($a$,$ b$,$ c$,$ d $)=(3,1,60,120)\backslash ).1.$ Deducir las distribuciones condicionales necesarias para implementar el muestreo de Gibbs. $2.$ Programe y ejecute su muestreador Gibbs. Utilice un conjunto de diagn$$sticos de convergencia para evaluar la convergencia y combinaci$$n de su algoritmo. Interpretar los diagn$$sticos$.3.$ Calcule las estad$$sticas resumidas de la distribuci$$n posterior conjunta estimada, incluidas las medias marginales, las desviaciones est$$ndar y un intervalo de credibilidad del $95\%$ para cada par$$metro$.$ Crea una tabla con estos resultados.