Ejercicio $1.$ Un contenedor met$$lico de forma esf$$rica$,$ y con pared muy delgada $($despreciable$),$ contiene en su interior material radiactivo. La tasa de producci$$n de calor volum$$trica $(\frac{W}{m^3})$ de dicho material est$$ dada por la expresi$$n:

$q_V^{}=q_{\text{m}\text{a}\text{x}}^{}(1-\frac{r^2}{R^2})$

donde $q_{\text{m}\text{a}\text{x}}^{}$ es la tasa de producci$$n de calor en el centro de la esfera y $R$ es el radio de la esfera. Inicialmente la esfera se encuentra sumergido dentro de un fluido de enfriamiento que permite mantener constante la temperatura de la superficie de la esfera en el valor $T_{}($temperatura del fluido de enfriamiento$),$ esto debido a que la resistencia de la transferencia de calor convectiva es despreciable $(h).$ Sin embargo, un operador comete un error y las condiciones operaci$$n del sistema de enfriamiento cambian s$$bitamente$,$ lo que propicia que el coeficiente de transferencia de calor convectivo se reduzca al valor $h.$ Encuentre la expresi$$n de la temneratura $T(rt)$ y del flujo de calor $Q^{}(t).$ Como informaci$$n adicional, se sabe que la conductividad termica, la densidaa y la capacidad calor$$fica espec$$fica son constantes: $k,$ y $c,$ respectivamente. Nota: S$$ considera que las integrales de los coeficientes de la serie son demasiados complejos, solo d$$jelos indicados, pero h$$galo apropiadamente.