Exercice 4 (20 points) Lorsqu'on suspend un objet de masse 1,5 kg a un ressort, ce dernier s'etire de 50 cm. Supposons une force d'amortissement egale a la vitesse. Utilisez g = 10 m/s. 1) Lorsque l'objet est au point d'equilibre, on lui donne une vitesse initiale de 1 m/s dirigee vers le bas. a) Trouvez l'equation differentielle du mouvement. b) A quel type d'amortissement (sous-amortissement, sur-amortissement ou amortissement critique) la masse est-elle soumise? c) Trouvez la position x(t) et la vitesse v(t) de l'objet en fonction du temps t et representez graphiquement (avec la TI) la solution x(t). d) Determinez la position et la vitesse de l'objet 1 seconde apres le debut du mouvement. A t = 1 seconde, l'objet est-il dirige vers le haut ou vers le bas? e) Quelle est l'amplitude maximale du mouvement? 2) Lorsque l'objet est au point d'equilibre, les conditions initiales sont nulles et on lui applique une force externe f (t) = 6(t-3). a) Posez l'E.D du mouvement et resolvez-la en donnant la position y(t) de la masse en fonction du temps. b) Representez graphiquement la solution y(t), calculez l'amplitude (l'eloignement) maximale de la masse par rapport au point d'equilibre et determinez a quel instant cet ecart maximal se produit.Exercice 5 (20 points). On branche en serie une bobine de 5 H, un condensateur de (1/5) F, une resistance de 10 2, et une source de 20sin(21). On note Ve(t) la tension aux bornes du condensateur au temps t et i(t) le courant dans le circuit en Amperes. Les conditions initiales sont : Vc(0) =50 volts et i(0) =0 ampere. a) Posez l'equation differentielle du circuit. b) Utilisez la calculatrice TI pour resoudre l'equation differentielle posee en a) et trouvez Ve(t) et i(t). c) Faites deux graphiques dans deux fenetres differentes de V(t) eti(t) . d) Pour chacune des fonctions V(t) et i(t) : identifiez la periode, l'amplitude et l'angle de phase en regime permanent exprime sous la forme Asin(cot + 4) Exercice 6 (25 points) Soit l'equation differentielle : (x2 - 5 )y"+ xy't y = 0 avec y(0) =1, y'(0) =-1 a) Transformez l'E.D d'ordre 2 en un systeme d'E.D d'ordre 1 et utilisez la methode de Runge-Kutta dans votre calculatrice pour evaluer y(1) en n = 20 etapes. b) On veut resoudre l'equation differentielle par series de puissances : i) Trouvez l'intervalle de convergence. ii) Trouvez la formule de recurrence qui permet de generer les coefficients de la serie de puissance solution. iii) Donnez la solution de l'E.D avec les 6 premiers termes non-nuls de la serie de puissance solution et estimez la valeur de y(1). iv) Peut-on utiliser la serie de puissance solution pour estimer chacune des valeurs suivantes : y(1.5), y(-1.5) et y(2.5)