instructions in English:

question 1:

Consider the following four formulations of the linear programming model. Using the graphical method, give the solution and determine:

1) the formulation which has more than one optimal solution

2) the formulation which is unbounded

3) the formulation which has no admissible solution

4) the formulation that has one solution unique optimal

ps: the reference table is on the first image

question 2:

A mid-sized electronics manufacturing company located in Toronto must decide how many computers to produce next month. The company plans to produce three types of computers: laptops, desktops, and commercial servers. The company knows that laptops generate an average profit of $480, desktop computers generate an average profit of $560, and commercial servers generate an average profit of $670. She also knows that commercial laptops, desktops, and servers cost $400, $500, and $600 to produce, respectively, and that no more than $75,000 is available for production next month. Additionally, labor hours for laptops, desktops, and commercial servers are 0.75h, 0.25h, and 1.5h respectively and no more than 10,500 minutes are available. Based on market research, the company wants to produce at least 18 units of each type of computer, but no more than 30 servers and no more than 45 desktop computers. Due to the popularity of laptops, the company wants to produce at least three times more laptops than commercial desktops and servers combined

a) We are asked to formulate the linear program which would make it possible to obtain the manufacturing program that maximizes the total profit and gives the optimal solution.

b) What will happen if the budget increases by $10,000? Explain your answer.

question 3:

A company manufactures three sports balls: football, basketball, and rugby. The resources required for crafting are leather and labor. The number of units of each resource required to manufacture a balloon of each type and the unit profit resulting from the sale of the balloons is given in the following table

ps: the table is on the second image

The company can sell as many balloons as it can make. It has 400 units of leather and 300 units of labor.

a) We are asked to formulate the linear program which would make it possible to obtain the manufacturing program that maximizes the total profit and gives the optimal solution.

In questions b), c) and d), you are asked to modify the wording of sub-question a) to take into account new circumstances. Questions b), c) and d) are independent of each other. If it is necessary to introduce new variables, define them carefully.

b) Give the additional linear constraint which guarantees that at least 30% of the total number of balls manufactured are basketballs. Give the optimal solution.

c) We now assume that the company can sell the leather at a unit profit of $0.50. How can the wording of a) be modified to take this possibility into account? Give the optimal solution.

d) The profit structure for footballs changes due to a change in market demand. The profit becomes $2 for the first 50 footballs manufactured and $1.50 for each football manufactured beyond the fiftieth. How to modify the wording of a) to take this change into account. Give the optimal solution.

question 4:

EL BOOZO, a gin importer, bottles three blends, Beafmonger, Tanqued-Up and Vallantine's, sold at respective prices of $34, $28.50 and $22.50 per bottle. These blends are produced from three gins that the company imports, type A gin, type B gin and type C gin. Although the market for these three gin blends is very large, the EL-company BOOZO cannot import more each month than the quantities authorized by import regulations. These maximum quantities as well as the purchase prices of imported gins are given in the table below:

the reference table is on the last image

The three blends are composed as follows:

Beafmonger must contain not less than 65% imported type A gin, no more than 25% imported type C gin (no restrictions on imported type B gin in this blend);

The Tanqued-Up must contain no less than 20% imported Type A gin, no more than 55% imported Type C gin (no restrictions on imported Type B gin in this blend);

Vallantine's must contain no more than 50% imported Type C gin (no restrictions on imported Type A and B gins in this blend).

a) Formulate the linear program model to help EL BOOZO determine the quantity of each of the mixtures to produce and their composition in order to maximize profit contributions and give the optimal solution.

b) Calculate for each of the mixtures the manufacturing cost per bottle for the composition most favorable to the importer.

Une compagnie fabrique trois ballons de sport : football, basketball et rugby. Les ressources ncessaires la fabrication sont le cuir et la main-d'uvre. Le nombre d'units de chaque ressource ncessaire la fabrication d'un ballon de chaque type et le profit unitaire rsultant de la vente des ballons sont donns dans la table suivante : La compagnie peut vendre autant de ballons qu'elle peut en fabriquer. Elle dispose de 400 units de cuir et de 300 units de main-d'uvre. a) On demande de formuler le programme linaire qui permettrait d'obtenir le programme de fabrication qui maximise le profit total et de donner la solution optimale. Dans les questions b ), c) et d), on vous demande de modifier la formulation de la sous question a) pour tenir compte de nouvelles circonstances. Les questions b), c) et d) sont indpendantes les unes des autres. S'il est ncessaire d'introduire de nouvelles variables, les dfinir soigneusement. b) Donner la contrainte linaire additionnelle qui garantit qu'au moins 30\% du nombre total de ballons fabriqus soient des ballons de basketball. Donner la solution optimale. Considrer les quatre formulations suivantes de modle de programmation linaire. En utilisant la mthode graphique, donner la solution et dterminer : 1. la formulation qui possde plus d'une solution optimale 2. la formulation qui est non borne 3. la formulation qui ne possde aucune solution admissible 4. la formulation qui possde une solution optimale unique Une entreprise de fabrication lectronique de taille moyenne situe Toronto doit dcider le nombre d'ordinateurs produire le mois prochain. L'entreprise prvoit de produire trois types d'ordinateurs: ordinateurs portables, ordinateurs de bureau et serveurs commerciaux. L'entreprise sait que les ordinateurs portables gnrent un profit moyen de 480$, les ordinateurs de bureau gnrent un profit moyen de 560$, et les serveurs commerciaux gnrent un profit moyen de 670$. Elle sait galement que les ordinateurs portables, les ordinateurs de bureau et les serveurs commerciaux cotent respectivement 400$,500$ et 600 produire et que pas plus de 75000$ sont disponibles pour la production le mois prochain. De plus, les heures de main d'uvre pour les ordinateurs portables, les ordinateurs de bureau et les serveurs commerciaux sont respectivement 0.75h,0.25h, et 1.5h et que pas plus de 10,500 minutes sont disponibles. Sur la base d'une tude de march, l'entreprise souhaite produire au moins 18 units de chaque type d'ordinateurs, mais pas plus de 30 serveurs et pas plus de 45 ordinateurs de bureau. En raison de la popularit des ordinateurs portables, l'entreprise souhaite produire au moins trois fois plus d'ordinateurs portables que l'ensemble des ordinateurs de bureau et des serveurs commerciaux. a) On demande de formuler le programme linaire qui permettrait d'obtenir le programme de fabrication qui maximise le profit total et de donner la solution optimale. b) Qu'est ce qui arrivera si le budget augmentait de $10,000 ? Expliquer votre rponse. c) On suppose maintenant que la compagnie peut vendre le cuir avec un profit unitaire de 0,50$. Comment modifier la formulation de a) pour tenir compte de cette possibilit? Donner la solution optimale. d) La structure du profit pour les ballons de football est modifie suite une modification de la demande du march. Le profit devient 2 \$ pour les 50 premiers ballons de football fabriqus et 1,50 \$ pour chaque ballon de fabriqu au-del du cinquantime. Comment modifier la formulation de a) pour tenir compte de ce changement. Donner la solution optimale. Question 4 EL BOOZO, un importateur de gin, embouteille trois mlanges, le Beafmonger, le Tanqued-Up et le Vallantine's, vendus aux prix respectifs de 34$,28,50$ et 22,50$ la bouteille. Ces mlanges sont produits partir de trois gins que la compagnie importe, le gin de type A, le gin de type B et le gin de type C. Malgr que le march pour ces trois mlanges de gin soit trs grand, la compagnie EL-BOOZO ne peut pas importer chaque mois plus que les quantits autorises par la rglementation des importations. Ces quantits maximales ainsi que les prix d'achat des gins imports sont donns dans le tableau ci-dessous : Les trois mlanges sont composs de la faon suivante : - Le Beafmonger doit contenir pas moins de 65% de gin import de type A, pas plus de 25% de gin import de type C (aucune restriction sur le gin import de type B dans ce mlange); - Le Tanqued-Up doit contenir pas moins de 20% de gin import de type A, pas plus de 55% de gin import de type C (aucune restriction sur le gin import de type B dans ce mlange); - Le Vallantine's doit contenir pas plus de 50% de gin import de type C (aucune restriction sur les gins imports de type A et B dans ce mlange). a) Formuler le modle de programme linaire pour aider EL BOOZO dterminer la quantit de chacun des mlanges produire et leur composition afin de maximiser les contributions aux bnfices et donner la solution optimale. b) Calculer pour chacun des mlanges le cot de fabrication par bouteille pour la composition la plus favorable l'importateur. Une compagnie fabrique trois ballons de sport : football, basketball et rugby. Les ressources ncessaires la fabrication sont le cuir et la main-d'uvre. Le nombre d'units de chaque ressource ncessaire la fabrication d'un ballon de chaque type et le profit unitaire rsultant de la vente des ballons sont donns dans la table suivante : La compagnie peut vendre autant de ballons qu'elle peut en fabriquer. Elle dispose de 400 units de cuir et de 300 units de main-d'uvre. a) On demande de formuler le programme linaire qui permettrait d'obtenir le programme de fabrication qui maximise le profit total et de donner la solution optimale. Dans les questions b ), c) et d), on vous demande de modifier la formulation de la sous question a) pour tenir compte de nouvelles circonstances. Les questions b), c) et d) sont indpendantes les unes des autres. S'il est ncessaire d'introduire de nouvelles variables, les dfinir soigneusement. b) Donner la contrainte linaire additionnelle qui garantit qu'au moins 30\% du nombre total de ballons fabriqus soient des ballons de basketball. Donner la solution optimale. Considrer les quatre formulations suivantes de modle de programmation linaire. En utilisant la mthode graphique, donner la solution et dterminer : 1. la formulation qui possde plus d'une solution optimale 2. la formulation qui est non borne 3. la formulation qui ne possde aucune solution admissible 4. la formulation qui possde une solution optimale unique Une entreprise de fabrication lectronique de taille moyenne situe Toronto doit dcider le nombre d'ordinateurs produire le mois prochain. L'entreprise prvoit de produire trois types d'ordinateurs: ordinateurs portables, ordinateurs de bureau et serveurs commerciaux. L'entreprise sait que les ordinateurs portables gnrent un profit moyen de 480$, les ordinateurs de bureau gnrent un profit moyen de 560$, et les serveurs commerciaux gnrent un profit moyen de 670$. Elle sait galement que les ordinateurs portables, les ordinateurs de bureau et les serveurs commerciaux cotent respectivement 400$,500$ et 600 produire et que pas plus de 75000$ sont disponibles pour la production le mois prochain. De plus, les heures de main d'uvre pour les ordinateurs portables, les ordinateurs de bureau et les serveurs commerciaux sont respectivement 0.75h,0.25h, et 1.5h et que pas plus de 10,500 minutes sont disponibles. Sur la base d'une tude de march, l'entreprise souhaite produire au moins 18 units de chaque type d'ordinateurs, mais pas plus de 30 serveurs et pas plus de 45 ordinateurs de bureau. En raison de la popularit des ordinateurs portables, l'entreprise souhaite produire au moins trois fois plus d'ordinateurs portables que l'ensemble des ordinateurs de bureau et des serveurs commerciaux. a) On demande de formuler le programme linaire qui permettrait d'obtenir le programme de fabrication qui maximise le profit total et de donner la solution optimale. b) Qu'est ce qui arrivera si le budget augmentait de $10,000 ? Expliquer votre rponse. c) On suppose maintenant que la compagnie peut vendre le cuir avec un profit unitaire de 0,50$. Comment modifier la formulation de a) pour tenir compte de cette possibilit? Donner la solution optimale. d) La structure du profit pour les ballons de football est modifie suite une modification de la demande du march. Le profit devient 2 \$ pour les 50 premiers ballons de football fabriqus et 1,50 \$ pour chaque ballon de fabriqu au-del du cinquantime. Comment modifier la formulation de a) pour tenir compte de ce changement. Donner la solution optimale. Question 4 EL BOOZO, un importateur de gin, embouteille trois mlanges, le Beafmonger, le Tanqued-Up et le Vallantine's, vendus aux prix respectifs de 34$,28,50$ et 22,50$ la bouteille. Ces mlanges sont produits partir de trois gins que la compagnie importe, le gin de type A, le gin de type B et le gin de type C. Malgr que le march pour ces trois mlanges de gin soit trs grand, la compagnie EL-BOOZO ne peut pas importer chaque mois plus que les quantits autorises par la rglementation des importations. Ces quantits maximales ainsi que les prix d'achat des gins imports sont donns dans le tableau ci-dessous : Les trois mlanges sont composs de la faon suivante : - Le Beafmonger doit contenir pas moins de 65% de gin import de type A, pas plus de 25% de gin import de type C (aucune restriction sur le gin import de type B dans ce mlange); - Le Tanqued-Up doit contenir pas moins de 20% de gin import de type A, pas plus de 55% de gin import de type C (aucune restriction sur le gin import de type B dans ce mlange); - Le Vallantine's doit contenir pas plus de 50% de gin import de type C (aucune restriction sur les gins imports de type A et B dans ce mlange). a) Formuler le modle de programme linaire pour aider EL BOOZO dterminer la quantit de chacun des mlanges produire et leur composition afin de maximiser les contributions aux bnfices et donner la solution optimale. b) Calculer pour chacun des mlanges le cot de fabrication par bouteille pour la composition la plus favorable l'importateur