Lemma $1$: if x$,$ y in R and x $>0$ and y $<0$ then xy $<0.$

Lemma $2$: if x$,$ y in R and x $<0$ and y $<0$ then xy $>0.$

Lemma $3$: if x $>0$ then $1/$x $>0.$

Lemma $4$: if x $<0$ then $1/$x $<0.$