P#3 PI (TT). Factorial Simple y Doble. El tpico principal de evaluacin es la implementacin de arreglos (arrays) en una solucin. El factorial doble no debe de ser confundido con el factorial simple calculado dos veces. El factorial simple calculado dos veces se podra expresar como (n!)!, mientras que el factorial doble es n!!. En matemticas el factorial doble o semifactorial de un nmero n, denotado como n!! se calcula como sigue: Si n es impar, n!! es el producto de los enteros desde 1 hasta n, (1*3*5...n) saltando de dos en dos. Sin es par, n!! es el producto desde 2 hasta n, (2*4*6*...n) saltando de dos en dos. El producto sucede entre nmeros con la misma paridad (todos pares o todos impares)]. Usando notacin matemtica: Si n es par, el doble factorial es: n!! = k=1 Alternativamente: n!! = n(n-2)(n-4)...4.2 Si n es impar, el doble factorial es: n!! =]](2k 1) k=1 Alternativamente: n!! = n(n-2)(n- 4)...3.1 Recursivamente (ignorar por ahora): n!! =n(n 2)! for n # 2 and n #1, y 2!! = 2 and 1!! = 1 son definiciones Ejemplo en arroz y habichuelas: 6!! = 6*4 * 2 = 48 nes par, factores son pares 7!! = 7 * 5 * 3+1 = 105 nes impar, factores son impares 2!! = 2 and 1!! = 1 son definiciones Ahora que UD sabe cmo se calcula el doble factorial, escriba un programa en pyhton-3 para calcular el valor de ne con la siguiente formula: k! (2k + 1)!! Eq.1 El valor de pi debe de calcularse hasta que el porciento de error es menor de 1x102 (equivalente a le-2 en Python). Para lograr esto es necesario que la ecuacin de arriba, cuya serie corre hasta infinito, se aproxime para un nmero finito n de trminos: TT k! (2k + 1)!! Eq.2 El computo de k! en el numerador y de (2k+1)!! en el denominador lo debes de realizar con programacin bsica (la funcin de la librera math.factorial en el mdulo de matemticas est prohibida). Aunque es conveniente decir que es beneficioso tambin calcular k! con la funcin de la librera para redondear su aprendizaje y para su propio beneficio. El cmputo del porciento de error que se comete usando la Eq.2 de arriba se puede obtener mediante la frmula: Picalculado - PiTRUE porcentaje de error = I series Tenumpy 100 Eq.3 Trumpy PITRUE Usar el parmetro numpy.pl (en el mdulo de numpy) como el valor verdadero de pi. El resultado principal del programa (output) es la cantidad de trminos necesarios en la Eq.2 (esto es n+1) para cumplir con la condicin del error y el valor aproximado de pi esperado. Para calcular el valor absoluto de la Eq.3 use una funcin de la librera de Python. P#3 PI (TT). Factorial Simple y Doble. El tpico principal de evaluacin es la implementacin de arreglos (arrays) en una solucin. El factorial doble no debe de ser confundido con el factorial simple calculado dos veces. El factorial simple calculado dos veces se podra expresar como (n!)!, mientras que el factorial doble es n!!. En matemticas el factorial doble o semifactorial de un nmero n, denotado como n!! se calcula como sigue: Si n es impar, n!! es el producto de los enteros desde 1 hasta n, (1*3*5...n) saltando de dos en dos. Sin es par, n!! es el producto desde 2 hasta n, (2*4*6*...n) saltando de dos en dos. El producto sucede entre nmeros con la misma paridad (todos pares o todos impares)]. Usando notacin matemtica: Si n es par, el doble factorial es: n!! = k=1 Alternativamente: n!! = n(n-2)(n-4)...4.2 Si n es impar, el doble factorial es: n!! =]](2k 1) k=1 Alternativamente: n!! = n(n-2)(n- 4)...3.1 Recursivamente (ignorar por ahora): n!! =n(n 2)! for n # 2 and n #1, y 2!! = 2 and 1!! = 1 son definiciones Ejemplo en arroz y habichuelas: 6!! = 6*4 * 2 = 48 nes par, factores son pares 7!! = 7 * 5 * 3+1 = 105 nes impar, factores son impares 2!! = 2 and 1!! = 1 son definiciones Ahora que UD sabe cmo se calcula el doble factorial, escriba un programa en pyhton-3 para calcular el valor de ne con la siguiente formula: k! (2k + 1)!! Eq.1 El valor de pi debe de calcularse hasta que el porciento de error es menor de 1x102 (equivalente a le-2 en Python). Para lograr esto es necesario que la ecuacin de arriba, cuya serie corre hasta infinito, se aproxime para un nmero finito n de trminos: TT k! (2k + 1)!! Eq.2 El computo de k! en el numerador y de (2k+1)!! en el denominador lo debes de realizar con programacin bsica (la funcin de la librera math.factorial en el mdulo de matemticas est prohibida). Aunque es conveniente decir que es beneficioso tambin calcular k! con la funcin de la librera para redondear su aprendizaje y para su propio beneficio. El cmputo del porciento de error que se comete usando la Eq.2 de arriba se puede obtener mediante la frmula: Picalculado - PiTRUE porcentaje de error = I series Tenumpy 100 Eq.3 Trumpy PITRUE Usar el parmetro numpy.pl (en el mdulo de numpy) como el valor verdadero de pi. El resultado principal del programa (output) es la cantidad de trminos necesarios en la Eq.2 (esto es n+1) para cumplir con la condicin del error y el valor aproximado de pi esperado. Para calcular el valor absoluto de la Eq.3 use una funcin de la librera de Python
