Problem $2$: Molar konsantrasyonlar$S_1$ ve $S_2$ olan iki h$$cre i$$i t$$r$$ i$$eren bir biyokimyasal reaksiyon a$$m$$ d$$nelim$.$ Birinci t$$r$$n $$retim h$$z$v_0$ olarak g$$sterilsin$.$lk t$$r kendi $$retim h$$z$$n$$ yava$$lat$$r ve sabit bir molar reaksiyon h$$z$v_1$ ile bozunur. Birinci t$$rden ikinci t$$r$$ olu$$turan reaksiyonun molar h$$z$v_2$ ile g$$sterilsin$.$kinci t$$r$$n $v_3$ molar reaksiyon h$$z$$nda bozundu$$unu varsayal$$m$.$ Reaksiyon a$$n$$ tan$$mlayan k$$tle dengesi denklemleri $(k_0,k_2$ ve $k_3$ reaksiyon h$$z sabitlerini ve $K$ da yava$$latma sabitini g$$stermek $$zere$)$ a$$a$$daki $$ekildedir:

$\frac{d{S}_1}{dt}=v_0-v_1-v_2=k_0\frac{K}{K+S_1}-v_1-k_2{S}_1=f_1(S_1)$

$\frac{d{S}_2}{dt}=v_2-v_3=k_2{S}_1-k_3{S}_2=f_2(S_1,S_2)$

a$)$ Parametrelerin de$$erleri $k_0=4\mathrm{.}5,K=0\mathrm{.}5,v_1=0\mathrm{.}5,k_2=1$ ve $k_3=1$ olarak verildi$$ine g$$re$,\frac{?}{\text{b}\text{a}\text{r}}(S{)}_1\frac{?}{b}=ar(S{)}_2=1$ in fiziksel olarak anlaml tek denge durumu oldu$$unu g$$steriniz$.$

b$)$ Lineer olmayan model denklemlerini $($a$)$kk$$nda verilen denge civar$$nda lineerle$$tiriniz$.$ Lineerle$$tirilen modelin

$S_1^{\text{'}}(t)=S_1(t)\frac{-}{b}ar(S{)}_1$ and $S_2^{\text{'}}(t)=S_2(t)\frac{-}{b}ar(S{)}_2$

olmak $$zere a$$a$$daki $$ekilde yaz$$labilece$$ini g$$steriniz:

$\frac{d{S}_1^{\text{'}}}{dt}=-2S_1^{\text{'}}$

$\frac{d{S}_2^{\text{'}}}{dt}=S_1^{\text{'}}-S_2^{\text{'}}$

c$)$ Lineerle$$tirilmi$$ modelin a$$a$$daki $$zde$$erler ve $$zvekt$$rlere sahip oldu$$unu g$$steriniz:

${}_1=-2,x^{(1)}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$;$,{}_2=-1,x^{(2)}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

Denge durumunun lokal asimptotik kararl olup olmad$$n$$ belirlemek i$$in $$zde$$erleri inceleyiniz.