Problema $1.$ Utilidad

La se$$ora Jones tiene una peque$$a agencia de seguros que vende p$$lizas para

una gran compa$$a de seguros. Por cada p$$liza vendida, la se$$ora Jones, que no

vende por si sola las p$$lizas$,$ recibe una comisi$$n de $$50$ de la compa$$a de

seguros. De experiencias pasadas, la se$$ora Jones ha determinado que cuando

emplea $m$ vendedores se venden

$q=m^3-12m^2+60m$

p$$lizas por semana. Ella paga a cada uno de los vendedores $$750$ por semana y

sus gastos fijos semanales son de $$2500.$ Su oficina actual s$$lo puede tener

cabida para siete vendedores.

Determina el n$$mero de vendedores que la se$$ora Jones debe contratar para

maximizar su utilidad semanal. $$Cu$$l es la utilidad m$$xima correspondiente?

a$)$ Obtenga una expresi$$n en t$$rminos del n$$mero de empleados que

represente la utilidad semanal de la agencia de la se$$ora Jones

$U(q)=$

b$)$ Obtenga los valores cr$$ticos de la funci$$n $U(q)$

c$)$ Determina los extremos absolutos de la funci$$n $U(q)$

d$)$ Identifica el valor de q que maximiza la utilidad semanal.

e$)$ Determina la utilidad m$$xima de la agencia

f$)$ Utiliza alguna herramienta tecnol$$gica para graficar la funci$$n utilidad $y$

verificar gr$$ficamente tu resultado.