Q$.11\mathrm{.}11$ Smith. $11-11.$ Un caso limitante de las resistencias al transporte intrapellet es el del factor de efectividad t$$rmica$.$ En esta situaci$$n de resistencia cero a la transferencia de masa, la resistencia a la transferencia de calor dentro del pellet establece por s$$ sola la eficacia del pellet. Supongamos que el efecto de la temperatura sobre la tasa se puede representar mediante la funci$$n de Arrhenius, de modo que la tasa en cualquier ubicaci$$n est$$ dada por r$=$AeE$/$RT $($C$)$

donde $($C$)$ representa la dependencia de la concentraci$$n de la tasa, evaluada en la superficie exterior del pellet.

$($a$)$ Deduzca una forma adimensional de la ecuaci$$n diferencial para el perfil de temperatura dentro del pellet, utilizando las variables

T donde $7,$ es la temperatura en la superficie exterior del pellet $($radio r$,).$Cu$$les son los coeficientes adimensionales en la ecuaci$$n$?$ Uno de los par$$metros de los coeficientes deber$$a ser la velocidad de reacci$$n evaluada en la superficie exterior; es decir, AeERT $($C$)$

$(6)$ Derive una ecuaci$$n integral para el factor de efectividad, donde la integral es una funci$$n del perfil de temperatura adimensional.

$($c$)$Los resultados de los incisos $($a$)$ y $($b$)$ est$$n restringidos a una forma espec$$fica para f$($C$),$ como una reacci$$n de primer orden? $($d$)$Esperar$$a que el factor de efectividad t$$rmica$,$ dado por la soluci$$n de la ecuaci$$n integral del inciso $($b$),$ fuera m$$s aplicable a reacciones exot$$rmicas o endot$$rmicas$?($e$)$ Determine el factor de efectividad en funci$$n de un coeficiente adimensional que involucra r donde el otro coeficiente es E$/$RT$,20.$Una computadora digital facilitar$$ la soluci$$n num$$rica de las ecuaciones derivadas de los incisos $($a$)$ y $($b$).$

$11-11.$ A limiting case of intrapellet transport resistances is that of the thermal

effectiveness factor. ${?}^1$ In this situation of zero mass$-$transfer resistance, the

resistance to intrapellet heat transfer alone establishes the effectiveness of the

pellet. Assume that the temperature effect on the rate can be represented by

$5$ the Arrhenius function, so that the rate at any location is given by

$r=A{e}^{-E_i{R}_{g}T}f(C_s)$

where $f(C_s)$ represents the concentration dependency of the rate, evaluated

at the outer surface of the pellet.

$($a$)$ Derive a dimensionless form of the differential equation for the tem$-$

perature profile within the pellet, using the variables

$T^{**}=\frac{T}{T_s},r^{**}=\frac{r}{r_s}$

where $T_s$ is the temperature at the outer surface of the pellet $($radius $r_z).$ What

are the dimensionless coefficients in the equation? One of the parameters

in the coefficients should be the rate of reaction evaluated at the outer surface;

that is$,$

$r_s=A{e}^{-\frac{}{R_g}{T}_s}f(C_z)$

$($b$)$ Derive an integral equation for the effectiveness factor, where the integral

is a function of the dimensionless temperature profile.

$($c$)$ Are the results in parts $($a$)$ and $($b$)$ restricted to a specific form for $f(C),$

such as a first$-$order reaction? $($d$)$ Would you expect the thermal effectiveness

factor, given by the solution of the integral equation of part $($b$),$ to be more

applicable to exothermic or to endothermic reactions? $($e$)$ Determine the

effectiveness factor as a function of a dimensionless coefficient involving $r_s,$

where the other coefficient is $\frac{E}{R_s}{T}_s=20.$

A digital computer will facilitate the numerical solution of the equations

derived in parts $(a)$ and $(b).$