c is a function of a, c''+2/a*c'=c/L1(L2+c), L1=0.4, L2=0.1 d 2 c 2 dc c + = 2 d a a da L1( L 2+c ) L1=(SsD)/(VmR2)=0.4, L2=Km/Ss=0.1 Please solve this ODE numerically and make a plot of c versus a c is a function of a, c''+2/a*c'=c/L1(L2+c), L1=0.4, L2=0.1 d 2 c 2 dc c + = 2 d a a da L1( L 2+c ) L1=(SsD)/(VmR2)=0.4, L2=Km/Ss=0.1 Please solve this ODE numerically and make a plot of c versus a SOLUTION: Use Range Kutta Method dc Let da =z=f (a , c , z ) The equation reduced to d2c c 2 = z 2 d a 0.4 (0.1+c ) a 2 d c c 2 ( ) Let g a , c , z = d a2 = 0.4 (0.1+ c) a z Therefore, the problem is f ( a , c , z ) =z g ( a , c , z )= c 2 z 0.4( 0.1+ c) a Assume the initial conditions are a0 =1, c0 =1, z 0=0 To solve this problem by Range Kutta Method of fourth order First find c(0.1) Take h = 0.1 k 1=hf ( a0 , c 0 , z 0 )=0.1 z 0=0 m 1=hg ( a 0 ,c 0 , z0 ) =h ( c0 2 z0 0.4 (0.1+c 0 ) a0 ) m1=0.1 1 2 0 =0.2272 ( 0.4 ( 0.1+1 ) 1 ) k m m h k 2=hf a 0+ , c 0+ 1 , z 0 + 1 =h z0 + 1 2 2 2 2 ( ) ( ( k 2=0.1 0+ ) 0.2272 =0.01136 2 ) k1 m1 h 1+0 2 0.2272 m 2=hg a0 + ,c 0 + , z 0 + =0.1 0+ =0.2056 2 2 2 0.4(0.1+ 1+ 0) 1+0.05 2 ( ) ( k m m h k 3 =hf a 0+ , c 0+ 2 , z0 + 2 =h z 0+ 2 2 2 2 2 ( ) ( ( k 3 =0.1 0+ ) 0.2056 =0.0103 2 ) k m h m3=hg a0 + , c0 + 2 , z 0 + 2 =0.1 2 2 2 ( ) 0.01136 2 2 0.2056 0+ =0.2076 1+0.05 2 0.01136 0.4 0.1+1+ 2 (( 1+ ) k 4=hf ( a 0+ h , c 0+ k 3 , z 0 +m3 )=h ( z0 +m3 ) =0.1 ( 0+0.2076 )=0.0208 z ( 0+ m3 ) c 0+ k 3 2 0.4 (0.1+c 0 +k 3) a0 m4=hg ( a0 +h , c 0 +k 3 , z 0+ m3 )=h m 4=0.1 ( )) ( 1+ 0.0103 2 (0+0.2076) =0.1878 0.4(0.1+1+0.0103) ( 1+ 0.1 ) Therefore, 1 c ( 0.1 )=c ( 0 ) + ( k 1+2 k 2+2 k 3 + k 4 ) =1.0107 6 ) ( ) ) 1 z ( 0.1 ) =z ( 0 ) + ( m1+2 m2+ 2m3 +m4 ) =0.2069 6 Now find c(0.2) a1=1.1, c 1=1.0107 , z 1=0.2069 Take h = 0.1 k 1=hf ( a1 , c1 , z1 ) =0.1 0.2069=0.02069 m 1=hg ( a 1 , c 1 , z 1 )=h m 1=0.1 ( c1 2 z1 0.4(0.1+ c 1) a1 ) 1.0107 2 0.2069 =0.1886 ( 0.4 ( 0.1+1.0107 ) ) 1.1 k m m h k 2=hf a 1+ , c1 + 1 , z 1+ 1 =h z 1+ 1 2 2 2 2 ( ( k 2=0.1 0.2069+ ) ( ) 0.1886 =0.0301 2 ) k m h 1.0107+ 0.02069/2 2 0.1886 m2=hg a1 + , c 1 + 1 , z1 + 1 =0.1 0.2069+ 2 2 2 0.4 (0.1+1.0107+0.02069 /2) 1+ 0.05 2 ( ) ( ( m2=0.1588 k m m h k 3 =hf a 1+ , c1 + 2 , z 1 + 2 =h z 1 + 2 2 2 2 2 ( ( k 3 =0.1 0.2069+ ) ( 0.1588 =0.0286 2 ) ) )) 0.0301 k m h 2 2 0.1588 m3=hg a1 + , c 1 + 2 , z 1+ 2 =0.1 0.2069+ 2 2 2 1+0.05 2 0.0301 0.4 0.1+1.0107+ 2 ( ( ) 1.0107 + ( ( ) m3=0.1733 k 4=hf ( a 1+ h , c1 +k 3 , z 1+ m3 ) =h ( z 1+ m3 ) =0.1 ( 0.2069+0.1733 )=0.0380 m 4=hg ( a1 +h , c 1 +k 3 , z1 +m3 )=h m 4=0.1 ( ( c 1 +k 3 2 ( z +m ) 0.4(0.1+ c 1+ k 3) a1 +h 1 3 ) 1.0107+0.0286 2 (0.2069+0.1733) =0.1589 0.4(0.1+1.0107+ 0.0286) ( 1+0.1 ) Therefore, 1 c ( 0.2 )=c ( 0.1 )+ ( k 1 +2 k 2 +2 k 3 +k 4 ) =1.0400 6 1 z ( 0.2 ) =z ( 0.1 ) + ( m1 +2 m2+2 m 3 +m 4 ) =0.3755 6 ) ) ) Excel sheet is attached. The graph is in sheet2 and data is in sheet1 a c 1 1 1.1 1.0106784393 1.2 1.0404332963 1.3 1.1473232731 1.4 1.2602969194 1.5 1.3798258148 1.6 1.5062675737 1.7 1.6398985878 1.8 1.7809359138 1.9 1.9295523263 2 2.0858869335 2.1 2.2500528331 2.2 2.4221427427 2.3 2.6022332147 2.4 2.7903878414 2.5 2.9866597259 2.6 3.1910934112 2.7 3.4037264027 2.8 3.6245903821 2.9 3.8537121833 3 4.091114584 z k1 0 0.207307 1.040433 1.098417 1.161836 1.229334 1.299959 1.373021 1.448012 1.524547 1.602333 1.681139 1.760786 1.841129 1.922052 2.00346 2.085276 2.167436 2.249888 2.332586 2.415494 m1 k2 m2 k3 0 0.2272727273 0.0113636364 0.2056277056 0.0102813853 0.020731 0.1897991053 0.0302206266 0.1751417429 0.0294877585 0.104043 0.0546729581 0.1067769775 0.0581916835 0.1069529138 0.109842 0.0609698251 0.1128902072 0.0635576193 0.1130195969 0.116184 0.0656451158 0.1194658364 0.0675939023 0.1195632757 0.122933 0.0691948919 0.1263931655 0.0706918919 0.1264680155 0.129996 0.0719410996 0.1335929497 0.0731104277 0.1336514161 0.137302 0.0740994386 0.1410070936 0.0750258046 0.1410534119 0.144801 0.0758185327 0.1485921172 0.0765612593 0.1486292535 0.152455 0.0772033609 0.1563148872 0.0778049516 0.1563449667 0.160233 0.0783297251 0.1641497561 0.0788212572 0.1641743327 0.168114 0.0792534414 0.172076597 0.0796580517 0.1720968275 0.176079 0.0800163312 0.1800794249 0.080351524 0.1800961846 0.184113 0.0806502197 0.1881454102 0.080929429 0.1881593707 0.192205 0.0811796611 0.1962641597 0.0814133297 0.1962758432 0.200346 0.0816238348 0.2044271854 0.0818201732 0.2044370023 0.208528 0.0819978868 0.212627504 0.0821634166 0.2126357804 0.216744 0.0823138961 0.2208593336 0.0824538451 0.220866331 0.224989 0.0825815811 0.2291178591 0.0827001745 0.2291237887 0.233259 0.0828088227 0.2373990496 0.082909501 0.2374040835 0.241549 0.0830020582 0.2456995151 0.0830876413 0.2457037943 m3 k4 m4 C Z 0.2078059259 0.020781 0.1897002899 1.0106784393 0.2073067134 0.1765102889 0.038382 0.1641038717 1.0404332963 0.3835078868 0.0579341888 0.109837 0.0609784786 1.1473232731 1.0984171598 0.0633883749 0.116181 0.065650061 1.2602969194 1.1618358056 0.0674798731 0.122932 0.0691977551 1.3798258148 1.2293342092 0.0706134955 0.129995 0.0719427593 1.5062675737 1.2999589469 0.0730556398 0.137301 0.0741003871 1.6398985878 1.3730212172 0.074987014 0.144801 0.0758190546 1.7809359138 1.4480119056 0.0765335193 0.152455 0.0772036248 1.9295523263 1.5245471913 0.0777849724 0.160233 0.0783298327 2.0858869335 1.6023326983 0.078806806 0.168114 0.0792534552 2.2500528331 1.6811392494 0.079647586 0.176079 0.0800162901 2.4221427427 1.7607860839 0.0803439613 0.184113 0.0806501477 2.6022332147 1.8411289921 0.0809239988 0.192205 0.0811795733 2.7903878414 1.9220517669 0.081409477 0.200346 0.0816237406 2.9866597259 2.0034599361 0.0818174936 0.208528 0.0819977919 3.1910934112 2.0852760961 0.0821616129 0.216744 0.0823138039 3.4037264027 2.1674363878 0.0824526969 0.224989 0.0825814936 3.6245903821 2.2498878001 0.0826995171 0.233259 0.0828087409 3.8537121833 2.3325860843 0.0829092105 0.24155 0.0830019824 4.091114584 2.4154941223 0.0830876242 0.249858 0.0831665093 4.3368169516 2.4985806387 a c 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 z 1 1.011 1.04 1.147 1.26 1.38 1.506 1.64 1.781 1.93 2.086 2.25 2.422 2.602 2.79 2.987 3.191 3.404 3.625 3.854 4.091 k1 0 0.207307 1.040433 1.098417 1.161836 1.229334 1.299959 1.373021 1.448012 1.524547 1.602333 1.681139 1.760786 1.841129 1.922052 2.00346 2.085276 2.167436 2.249888 2.332586 2.415494 m1 k2 m2 k3 m3 k4 0 0.227273 0.011364 0.205628 0.010281 0.207806 0.020781 0.020731 0.189799 0.030221 0.175142 0.029488 0.17651 0.038382 0.104043 0.054673 0.106777 0.058192 0.106953 0.057934 0.109837 0.109842 0.06097 0.11289 0.063558 0.11302 0.063388 0.116181 0.116184 0.065645 0.119466 0.067594 0.119563 0.06748 0.122932 0.122933 0.069195 0.126393 0.070692 0.126468 0.070613 0.129995 0.129996 0.071941 0.133593 0.07311 0.133651 0.073056 0.137301 5 0.137302 0.074099 4.5 0.141007 0.075026 0.141053 0.074987 0.144801 0.144801 0.075819 0.148592 0.076561 0.148629 0.076534 0.152455 4 0.152455 0.077203 0.156315 0.077805 0.156345 0.077785 0.160233 3.5 0.160233 0.07833 0.16415 0.078821 0.164174 0.078807 0.168114 3 0.168114 0.079253 0.172077 0.079658 0.172097 0.079648 0.176079 2.5 0.176079 0.080016 0.180079 0.080352 0.180096 0.080344 0.184113 2 0.184113 0.08065 0.188145 0.080929 0.188159 0.080924 0.192205 1.5 0.192205 0.08118 0.196264 0.081413 0.196276 0.081409 0.200346 1 0.200346 0.081624 0.204427 0.08182 0.204437 0.081817 0.208528 0.5 0.208528 0.081998 0.212628 0.082163 0.212636 0.082162 0.216744 0 0.216744 0.082314 0.220859 0.082454 0.220866 0.082453 0.224989 0.5 1 1.5 2 2.5 0.224989 0.082582 0.229118 0.0827 0.229124 0.0827 0.233259 0.233259 0.082809 0.237399 0.08291 0.237404 0.082909 0.24155 0.241549 0.083002 0.2457 0.083088 0.245704 0.083088 0.249858 R 3 3.5 m4 2.5 C Z 0.1897 1.010678 0.207307 0.164104 1.040433 0.383508 0.060978 1.147323 1.098417 0.06565 1.260297 1.161836 0.069198 1.379826 1.229334 0.071943 1.506268 1.299959 0.0741 1.639899 1.373021 0.075819 1.780936 1.448012 0.077204 1.929552 1.524547 0.07833 2.085887 1.602333 0.079253 2.250053 1.681139 0.080016 2.422143 1.760786 RK4 0.08065 2.602233 1.841129 0.08118 2.790388 1.922052 0.081624 2.98666 2.00346 0.081998 3.191093 2.085276 0.082314 3.403726 2.167436 0.082581 3.62459 2.249888 3 3.5 0.082809 3.853712 2.332586 0.083002 4.091115 2.415494 0.083167 4.336817 2.498581 C #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF! #REF