Pregunta 1

Considere una pareja, Betty y George, i = 1, 2 respectivamente. Cada socio tiene preferencias privadas sobre el consumo propio, ci, y un bien pblico familiar G que vienen dados por:

ui = log ci + log G

El nivel total del bien pblico, G, es simplemente la suma de sus contribuciones individuales, es decir, G = g1 + g2, donde g1 y g2 son las contribuciones de Betty y George, respectivamente. Cada socio tiene un presupuesto de R y tanto el consumo como el bien pblico tienen precios iguales a uno. Por lo tanto, cada uno enfrenta una restriccin presupuestaria individual de:

ci + gi R

Sin embargo, Betty y George tambin se gustan. Los sentimientos altruistas que tienen el uno por el otro implican que la utilidad total de cada socio es un promedio ponderado de la utilidad privada propia y la utilidad privada del socio. Por lo tanto, la utilidad total de Betty es:

U1 =u1 +(1)u2 mientras que, de manera similar, la utilidad total de George es:

U2 =u2 +(1)u1

El parmetro indica la fuerza de las preferencias altruistas y est contenido en algn lugar del intervalo 1/2 1. [Tenga en cuenta que el lmite inferior, = 1/2, implicara que cada uno se preocupa tanto por el otro como por s mismo . En cambio, el lmite superior, = 1, corresponde a las preferencias egostas.]

A pesar de los sentimientos altruistas mutuos, actan de manera no cooperativa y sus elecciones de contribuciones al bien pblico se determinan como un equilibrio de Nash. Como sus preferencias tienen la misma forma y tienen el mismo presupuesto, el equilibrio de Nash ser naturalmente simtrico.

Nos gustara resolver el equilibrio de Nash simtrico de las contribuciones al bien pblico con preferencias altruistas generales, es decir, queremos encontrar lo que es comn.

1

La contribucin g*, realizada por cada socio, corresponde a un equilibrio de Nash. Para hacer esto, es til escribir la funcin de utilidad total de cada socio de tal forma que gi sea la nica variable de eleccin. Esto se puede hacer sustituyendo ci y G.

a) Realice la sustitucin anterior y anote la utilidad total U1 para Betty (jugador 1) en funcin de su eleccin g1 y la contribucin elegida por George, g2. [5 puntos]

b) Cul es la condicin de primer orden para la eleccin de g1 de Betty (jugador 1)? Resuelva esta ecuacin para g1 como una funcin de g2 (esto le da la "funcin de reaccin" de Betty). [5 puntos]

c) Dado que el problema es simtrico, la funcin de reaccin de George tendr una forma similar. Resolver para el equilibrio de Nash simtrico la contribucin al bien pblico g con preferencias altruistas generales en funcin del parmetro de altruismo . [10 puntos]

d) Cmo las contribuciones de equilibrio simtrico, g, al bien pblico G dependen de ? Es creciente o decreciente en ? Cmo interpretaras esto? [10 puntos]

e) Queremos argumentar que el equilibrio de Nash es eficiente en el sentido de Pareto si y slo si los socios son completamente altruistas en el sentido de que = 1/2. Para hacer esto, debemos recordar que al considerar el conjunto de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto, podemos considerar asignaciones que maximicen un promedio ponderado de las preferencias privadas (ya que cualquier asignacin que sea eficiente en el sentido de Pareto bajo las preferencias altruistas tambin ser eficiente en el sentido de Pareto bajo las preferencias privadas). preferencias). Cualquier asignacin eficiente de Pareto es, por lo tanto, la solucin para maximizar la siguiente funcin objetivo

W =[log(Rg1)+log(g1 +g2)]+(1)[log(Rg2)+log(g1 +g2)]

para algn valor de .

Cules son las condiciones de primer orden de los niveles eficientes de Pareto para g1 y g2? Qu valor debe tomar el peso para que la asignacin eficiente de Pareto sea simtrica? [10 puntos]

f) Por ltimo, para completar nuestra demostracin, demuestre que las contribuciones del equilibrio de Nash g son iguales a las contribuciones eficientes de Pareto simtricas cuando = 1/2 . Cul es la intuicin de este resultado? (Pista: piensa en la externalidad que ocurre cuando > 1/2). [10 puntos]