PROBL$$ME $1$

Global Investment Fund $($GIF$)$ est une soci$$t$$ intemationale d'investissement, qui foumit du

capital de d$$marrage $$ de nouveaux projets $$ travers le monde. En raison de la nature de son

activit$,$ GIF d$$tient des fonds dans de nombreux pays et effectue des op$$rations de conversion

entre monnaies en fonction de ses besoins dans les diff$$rentes r$$gions du monde.

Outre ses avoirs en yens, GIF d$$tient pr$$sentement $6$ millions d'euros $($EUR$),1200$ millions de

yen japonais $($JPY$)$ et $30$ millions de francs suisses $($CHF$).$ Pour diverses raisons, fiscales

notamment, GIF souhaite reconvertir ses avoirs en devises $$trang$$res en dollar US$.$

La banque, que la soci$$t$$ GIF utilise pour ses conversions de devises, charge diff$$rents frais de

transaction pour la conversion entre diff$$rentes devises. La Table $1\mathrm{.}1$ indique les frais de

transaction $($exprim$$ en pourcentage du montant converti$)$ pour les dollars US $($USD$),$ les dollars

australiens $($AUD$),$ les livres sterling $($GBP$),$ les euros $($EUR$),$ les roupies indiennes $($INR$),$ les

yens japonais $($JPY$),$ les dollars de Singapour $($SGD$)$ et les francs suisses $($CHF$).$

Parce que cela co$$te des montants diff$$rents pour convertir entre les diff$$rentes monnaies, GIF

pense que la conversion directe de ses devises $$trang$$res en dollars US peut ne pas $$tre la

meilleure strat$$gie$.$ Au lieu de cela, il pourrait $$tre moins co$$teux de convertir les devises que la

soci$$t$$ d$$tient en des monnaies interm$$diaires avant de proc$$der $$ la conversion en dollars US$.$

La Table $1\mathrm{.}2$ indique les taux de chapge pour la conversion d'une monnaie $$ une autre.

Table $1\mathrm{.}2$ : Taux de change

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Cette table indique, par exemple, qu'un yen japonais peut $$tre converti en $0\mathrm{.}0077$ dollar US$.$

Donc $100000$ yens donneraient $770$ $ US$.$ Cependant, les frais de transaction de $0\mathrm{.}4\%$ per$$us

par la banque r$$duiraient le montant net re$$u $770$$$(1-0\mathrm{.}004)=766\mathrm{.}92$$$.$

GIF aimerait donc d$$terminer la meilleure fa$$on de convertir la totalit$$ de ses avoirs en devises

$$trang$$res en dollars US$.$

Question $1\mathrm{.}1$ : Si GIF convertissait chacune des devises $$trang$$res qu$$elle poss$$de directement en dollars US$,$ combien de dollars US aurait$-$elle?

Question $1\mathrm{.}2$ : Formuler un mod$$le math$$matique pour d$$terminer la meilleure fa$$on de convertir en dollars US la totalit$$ des avoirs en devises $$trang$$res de GIF. Indiquer en particulier clairement les variables, la fonction objectif et les contraintes du mod$$le$.$

Question $1\mathrm{.}3$ : R$$soudre le mod$$le propos$.$ Pr$$senter clairement la solution optimale. Quels sont les gains ainsi r$$alis$$s par GIF $($par rapport ses devises $$trang$$res directement en dollars US$)?$

Question $1\mathrm{.}4$ : Supposons que GIF veuille effectuer la m$$me conversion, mais de fa$$on $$ obtenir $$galement $5$ millions de dollars australiens. Quelle serait la solution optimale dans ce cas?